Ruchome dane średnio w serii danych

Średnie ruchome Średnie ruchy Z konwencjonalnymi zbiorami danych średnia wartość jest często pierwszą i jedną z najbardziej użytecznych statystyk podsumowania do obliczania. Jeśli dane są w formie szeregu czasowego, to jest to przydatna metoda, ale nie odzwierciedlająca dynamicznego charakteru danych. Często przydatne są średnie wartości obliczone w odniesieniu do okresów zwolnionych, poprzedzających bieżący okres lub wycentrowanych na bieżącym okresie. Ponieważ takie średnie wartości zmieniają się lub poruszają, ponieważ bieżący okres przemieszcza się od czasu t2, t3 itd., Są one znane jako średnia ruchoma (Mas). Prosta średnia ruchoma jest (zazwyczaj) średnią nieważoną k poprzednich wartości. Średnia średnica ruchoma jest zasadniczo taka sama jak średnia średniej ruchomej, ale ze składkami do średniej ważonej ich bliskością do aktualnego czasu. Ponieważ nie ma jednego, ale całej serii średnich kroczących w danej serii, zestaw Mas może być wyrysowany na wykresach, analizowany jako seria i używany w modelowaniu i prognozowaniu. Modele mogą być skonstruowane przy użyciu średnich ruchomej i są one znane jako modele MA. Jeśli takie modele są połączone z modelami autoregresji (AR), powstałe moduły kompozytowe są znane jako modele ARMA lub ARIMA (I jest zintegrowany). Proste średnie ruchome Ponieważ serie czasowe mogą być traktowane jako zbiór wartości, t 1,2,3,4, n można obliczyć średnią z tych wartości. Jeśli przyjmiemy, że n jest dość duże i wybieramy liczbę całkowitą k, która jest znacznie mniejsza niż n. możemy obliczyć zestaw średnich bloków lub proste średnie ruchome (rzędu k): każdy środek reprezentuje średnią wartości danych w przedziale k obserwacji. Zauważmy, że pierwszą możliwą macierz rzędu k gt0 jest taka, że ​​dla t k. Ogólniej możemy upuścić dodatkowy indeks dolny w powyższych wyrażeniach i napisać: Stwierdza się, że średnia szacowana w czasie t jest zwykłą średnią obserwowanej wartości w czasie t oraz poprzedzającym krokiem k-1. Jeśli stosuje się odważniki, które zmniejszają wkład obserwacji, które są dalekie w czasie, średnia średniej ruchomej jest mnożona wykładniczo. Średnie ruchome są często wykorzystywane jako forma prognozowania, przy czym szacunkowa wartość dla serii w czasie t 1, S t1. jest pobierana jako MA przez okres do i włącznie z czasem t. na przykład dzisiejsze szacunki opierają się na średniej z wcześniej zapisanych wartości do i włącznie z wczoraj (dla danych dziennych). Proste średnie ruchome można postrzegać jako formę wygładzania. W przedstawionym poniżej przykładzie zestaw danych dotyczących zanieczyszczenia powietrza przedstawiony we wprowadzeniu do tego tematu został powiększony o linię 7-dniowej średniej ruchomej (MA), pokazanej na czerwono. Jak można zauważyć, linia MA wygładza szczyty i koryta w danych i może być bardzo pomocna w identyfikacji trendów. Standardowa formuła obliczania do przodu oznacza, że ​​pierwsze punkty danych k -1 nie mają wartości MA, ale później obliczenia rozciągają się do końcowego punktu danych w serii. Średnie wartości dzienne PM10, źródło Greenwich: London Air Quality Network, londonair. org. uk Jednym z powodów obliczania prostych średnic ruchu w sposób opisany jest fakt, że umożliwia obliczanie wartości we wszystkich przedziałach czasowych od czasu tk aż do chwili obecnej, a jako nowy pomiar jest uzyskiwany w czasie t1, można dodać do zestawu już obliczony współczynnik MA dla czasu t1. Zapewnia to prostą procedurę dla dynamicznych zestawów danych. Istnieją jednak pewne problemy z tym podejściem. Rozumie się, że średnia wartość w ciągu ostatnich trzech okresów, powiedzmy, powinna znajdować się w czasie t -1, a nie w czasie t. a dla MA na parzystej liczbie okresów może być ona umieszczona w połowie punktu między dwoma przedziałami czasowymi. Rozwiązaniem tego problemu jest zastosowanie wyśrodkowanych obliczeń MA, w których MA w czasie t jest średnią symetrycznego zestawu wartości wokół t. Pomimo jej oczywistych zasług, podejście to nie jest powszechnie stosowane, ponieważ wymaga, aby dane były dostępne dla przyszłych wydarzeń, co może nie mieć miejsca. W przypadkach, w których analiza jest w całości z istniejącej serii, korzystne może być użycie środkowego Mas. Proste średnie ruchome można uznać za formę wygładzania, usuwania niektórych elementów o wysokiej częstotliwości w serii czasowej i podkreślania trendów w sposób podobny do ogólnego pojęcia filtrowania cyfrowego (ale nie usuwania). Rzeczywiście, średnie ruchome są formą filtru liniowego. Możliwe jest zastosowanie średniej ruchomej obliczeniowej do serii, która została już wygładzona, tzn. Wygładzanie lub filtrowanie już wygładzonej serii. Na przykład, ze średnią ruchoma rzędu 2, możemy ją uznać za obliczoną przy użyciu odważników, więc MA przy x 2 0,5 x 1 0,5 x 2. Podobnie, MA przy x 3 0,5 x 2 0,5 x 3. Jeśli zastosuj drugi poziom wygładzania lub filtrowania, mamy 0.5 x 2 0.5 x 3 0.5 (0.5 x 1 0.5 x 2) 0.5 (0.5 x 2 0.5 x 3) 0.25 x 1 0.5 x 2 0.25 x 3 tj. filtracja dwustopniowa proces (lub splot) wytworzył zmienną ważoną symetryczną średnią ruchliwą, z odważnikami. Wiele splotów może wytwarzać dość złożone średnie ruchome ważone, z których niektóre zostały znalezione szczególnie w specjalistycznych dziedzinach, na przykład w kalkulacjach ubezpieczenia na życie. Średnie ruchome mogą być użyte do usunięcia okresowych efektów, jeśli są obliczane jako długość znanej. Na przykład z miesięcznymi zmianami sezonowymi można często usunąć (jeśli jest to cel), stosując symetryczną 12-miesięczną średnią ruchliwą ze wszystkimi ważonymi miesiącami, z wyjątkiem pierwszego i ostatniego ważonego przez 12. To dlatego, że nie będzie 13 miesięcy w modelu symetrycznym (aktualny czas, t. - 6 miesięcy). Całkowita jest podzielona przez 12. Podobne procedury można przyjąć dla dowolnie zdefiniowanych okresów. Średnie ruchome (EWMA) Przy użyciu prostej średniej ruchomej: wszystkie obserwacje są równie ważone. Jeśli wezwaliśmy te równe ciężary, alfa t. każda z wag wagi równałaby 1 k. więc suma wagi wynosiła 1, a formuła byłaby: widzieliśmy już, że wiele zastosowań tego procesu skutkuje różnymi obciążeniami. Przy średniej ważonej średniej ruchomej udział średniej z obserwowanych obserwacji, które są bardziej usuwane w czasie, jest ograniczony, podkreślając tym samym ostatnie wydarzenia (lokalnie). Zasadniczo wprowadza się parametr wygładzania, 0lt alpha lt1, a wzorcowa poprawka do: Symetryczna wersja tej formuły będzie miała postać: Jeśli wagi w modelu symetrycznym są wybrane jako warunki warunków ekspansji dwumianowej, (1212) 2q. sumują się do 1, a gdy q stanie się duży, przybliżą rozkład normalny. Jest to forma ważenia jądra, z funkcją Binomial działającą jako funkcja jądra. Konwolucja dwustopniowa opisana w poprzednim podrozdziale jest dokładnie tym układem, przy czym q 1 daje ciężar. W wyrównywaniu wykładniczym konieczne jest użycie zestawu ciężarów, które sumują się na 1, a geometrycznie zmniejszają rozmiar. Stosowane masy mają typowo formę: Aby wykazać, że te wagi sumują się na 1, rozważyć rozszerzenie 1 jako szereg. Możemy zapisywać i rozszerzać wyrażenie w nawiasach przy użyciu formuły dwumianowej (1- x) gdzie x (1-) i p -1, co daje: Daje to formę ważonej średniej ruchomej postaci: To sumy można zapisać jako relację nawrotową: upraszcza to obliczenie w znacznym stopniu i unika problemu, że system ważenia powinno być ściśle nieskończone, aby wagi sumowały się do 1 (w przypadku małych wartości alfa zazwyczaj nie jest to przypadek). Notacja stosowana przez różnych autorów różni się. Niektórzy używają litery S, aby wskazać, że formuła jest w zasadzie zmienną wygładzoną i napisać: podczas gdy literatura teorii sterowania często używa raczej Z, a nie S do wartości wykładniczych ważonych lub wygładzonych (patrz, na przykład, Lucas i Saccucci, 1990, LUC1 , oraz stronę internetową NIST, aby uzyskać więcej szczegółów i sprawdzonych przykładów). Powyższe wzorce pochodzą z pracy Robertsa (1959, ROB1), ale Hunter (1986, HUN1) używa wyrażenia w postaci: co może być bardziej odpowiednie do użycia w niektórych procedurach kontrolnych. W przypadku alfa 1 średnie oszacowanie jest po prostu wartością zmierzoną (lub wartością poprzedniego elementu danych). Z wartością 0.5 szacunkiem jest prosta średnia ruchoma pomiarów bieżących i poprzednich. W modelach prognozowania wartość, S t. jest często wykorzystywana jako wartość szacunkowa lub prognoza dla następnego okresu czasu, tzn. jako przybliżenie dla x w czasie t1. Mamy więc: Pokazuje to, że wartość prognozowana w czasie t1 jest kombinacją poprzedniej ważonej średniej ruchomej plus składnik reprezentujący ważony błąd predykcji, epsilon. w czasie t. Przy założeniu serii czasów i podaniu prognozy wymagana jest wartość alfa. Można to oszacować na podstawie istniejących danych, oceniając sumę kwadratowych błędów predykcyjnych uzyskać z różnymi wartościami alfa dla każdej t 2,3. ustalając, że pierwsze oszacowanie jest pierwszą obserwowaną wartością danych, x 1. W zastosowaniach kontrolnych wartość alfa jest ważna w tym, że jest stosowana przy określaniu górnych i dolnych limitów kontrolnych, i ma wpływ na przeciętną długość przebiegu (ARL) zanim zostaną przekroczone te granice kontroli (przy założeniu, że szereg czasowy reprezentuje zestaw losowych, identycznie rozmieszczonych niezależnych zmiennych o wspólnej wariancji). W tych okolicznościach wariancja statystycznej kontroli: (Lucas i Saccucci, 1990): limity kontrolne są zwykle ustalane jako stałe wielokrotności tej asymptotycznej wariancji, np. - 3 razy odchylenie standardowe. Jeśli przyjmuje się, że na przykład alfa 0.25 i monitorowane dane mają rozkład normalny, N (0,1), podczas kontroli, granice kontrolne wynoszą - 1,134, a proces osiągnie jeden lub inny limit w 500 krokach średnio. Lucas i Saccucci (1990 LUC1) uzyskują ARL dla szerokiego zakresu wartości alfa i różnymi założeniami, stosując procedury łańcuchowe Markowa. Są to tablice wyników, w tym zapewnienie ARLs, gdy średnia z procesu kontroli została przesunięta o kilka wielokrotności odchylenia standardowego. Na przykład, z przesunięciem 0.5 z alfa 0.25, ARL jest krótszy niż 50 kroków czasowych. Podejścia opisane powyżej są znane jako wygładzanie jednoelementowe. ponieważ procedury są stosowane raz do szeregów czasowych, a następnie przeprowadzane są analizy lub procesy kontrolne w wynikowym wygładzonym zbiorze danych. Jeśli zestaw danych zawiera trendy i elementy sezonowe, można zastosować wyrównywanie wykładnicze dwustopniowe lub trzystopniowe jako narzędzie do usuwania (jawnie modelowania) tych efektów (zobacz dalej sekcja Prognozowanie poniżej i przykład pracy NIST). CHA1 Chatfield C (1975) Analiza serii czasowych: teoria i praktyka. Chapman i Hall, Londyn HUN1 Hunter J S (1986) Średnia ważona wykładniczą średnią ruchoma. J of Quality Technology, 18, 203-210 LUC1 Lucas J M, Saccucci M S (1990) Przekroczone średnimi wartościami średniej ruchome schematy kontroli: właściwości i ulepszenia. Technometrics, 32 (1), 1-12 ROB1 Roberts S W (1959) Testy wykresów kontrolnych oparte na geometrycznych średnich kroczących. Technometrics, 1, 239-250Smoothing danych usuwa przypadkową odmianę i pokazuje trendy i cykliczne składniki Inherent w gromadzeniu danych z czasem jest pewną formą losowej odmian. Istnieją metody zmniejszania anulowania efektu z powodu zmienności losowej. Wygładza się często stosowana w przemyśle technika. Technika ta, jeśli jest właściwie stosowana, ujawnia bardziej wyraźny trend, elementy sezonowe i cykliczne. Istnieją dwie odrębne grupy sposobów wygładzania Metody uśredniające Metody wygładzania wykładniczego Pobieranie średnich jest najprostszym sposobem wygładzania danych Najpierw zbadamy niektóre uśrednione metody, takie jak zwykła średnia wszystkich poprzednich danych. Kierownik magazynu chce wiedzieć, ile typowy dostawca dostarcza w jednostkach 1000 dolarów. Heshe pobiera próbę z 12 dostawców, losowo, uzyskując następujące wyniki: średnia obliczona lub średnia danych 10. Kierownik decyduje się na wykorzystanie tego jako preliminarza wydatków typowego dostawcy. Czy jest to dobry lub złe oszacowanie Mean squared error jest sposobem na to, aby ocenić, jak dobry model jest Obliczamy średnie kwadratowe błędy. Błąd prawdziwej kwoty wydanej minus szacowana kwota. Błękitny kwadrat jest błędem powyżej, wyrównany. SSE jest sumą kwadratowych błędów. MSE jest średnią z kwadratów błędów. Wyniki MSE Na przykład Wyniki są następujące: Błędy błędów i kwadratów Szacunek 10 Powstaje pytanie: czy możemy użyć średniego do przewidywanego przychodu, jeśli podejrzewamy, że trend A na wykresie poniżej widać wyraźnie, że nie powinniśmy tego robić. Średnia waży wszystkie dotychczasowe obserwacje Podsumowując, stwierdzamy, że zwykła średnia lub średnia wszystkich wcześniejszych obserwacji jest tylko użytecznym oszacowaniem prognozowania, gdy nie ma żadnych trendów. Jeśli istnieją trendy, użyj różnych szacunków, które uwzględniają trend. Średnia waży wszystkie obserwacje w równym stopniu. Na przykład średnia z wartości 3, 4, 5 wynosi 4. Oczywiście wiemy, że średnia jest obliczana poprzez dodanie wszystkich wartości i podzielenie sumy przez liczbę wartości. Innym sposobem obliczania średniej jest dodanie każdej wartości podzielonej przez liczbę wartości, czyli 33 43 53 1 1.3333 1.6667 4. Mnożnik 13 nazywa się wagą. Ogólnie: bar frac suma w lewo (w prawo frac) x1 w lewo (frac w prawo) x2,. ,, w lewo (w prawo frac) xn. (Lewy (prawy frak)) to ciężary i suma do 1. Używanie analizy serii czasowej serii R dla analizy czasu Ten podręcznik zawiera informacje na temat korzystania z oprogramowania statystycznego R do przeprowadzania prostych analiz, które są powszechne w analizie danych serii czasowej. Niniejsza broszura zakłada, że ​​czytelnik posiada podstawową wiedzę na temat analizy serii czasowej, a główny cel broszury nie polega na wyjaśnieniu analizy serii czasowej, ale raczej wyjaśnić, jak przeprowadzić te analizy przy użyciu R. Jeśli jesteś nowy w serii czasowej analizę i chcę dowiedzieć się więcej o dowolnym z przedstawionych tutaj pojęć, gorąco polecam książkę Open 8220Time series8221 (kod produktu M24902) dostępną z Open University Shop. W tej broszurze będę używać zestawów danych z serii czasowych, które zostały udostępnione przez Rob Hyndmana w jego bibliotece danych z serii czasowej w robjhyndmanTSDL. Jeśli podoba Ci się niniejsza broszura, możesz też zapoznać się z moją książeczką dotyczącą używania R do statystyk biomedycznych, a-little-book-of-for-biomedical-statistics. readthedocs. org. i moja broszura o użyciu R do analizy wielowymiarowej, little-book-of-r-for-ultultivariate-analysis. readthedocs. org. Czytanie danych serii czasowej Pierwszą rzeczą, którą chcesz zrobić, aby analizować dane szeregów czasowych, będzie odczytywanie jej w R i zaplanowanie serii czasów. Można odczytywać dane w R przy użyciu funkcji scan (), która zakłada, że ​​dane dla kolejnych punktów czasowych są w prostym pliku tekstowym z jedną kolumną. Na przykład plik robjhyndmantsdldatamisckings. dat zawiera dane dotyczące wieku śmierci następnych królów Anglii, począwszy od Williama Zdobywcę (oryginalne źródło: Hipel i Mcleod, 1994). Zestaw danych wygląda tak: Wyświetlono tylko kilka pierwszych wierszy pliku. Pierwsze trzy wiersze zawierają komentarz na temat danych i chcemy zignorować to podczas odczytywania danych do R. Można to wykorzystać, używając parametru 8220skip8221 funkcji skanowania (), która określa liczbę wierszy na górze plik do zignorowania. Aby przeczytać plik w R, ignorując trzy pierwsze wiersze, wpiszemy: W tym przypadku został przeczytany wiek śmierci 42 kolejnych królów Anglii w zmiennej 8216kings8217. Po przeczytaniu danych serii czasowej w R, następnym krokiem jest zapisanie danych w obiekcie szeregów czasowych w R, dzięki czemu można używać wielu funkcji R8217 do analizy danych szeregowych. Aby zapisać dane w obiekcie szeregowym czasowym, użyjemy funkcji ts () w R. Na przykład, aby zapisać dane w zmiennej 8216kings8217 jako obiekt z serii szeregów czasowych w R, wpiszemy: Czasami zestaw danych serii czasowych, mogły być gromadzone w regularnych odstępach czasu, które trwały krócej niż rok, na przykład co miesiąc lub kwartalnie. W tym przypadku można określić liczbę przypadków zbierania danych rocznie przy użyciu parametru 8216frequency8217 w funkcji ts (). Dla miesięcznych danych szeregowych ustawia się częstotliwość 12, a dla danych kwartalnych szeregów czasowych ustawiona jest częstotliwość4. Można również określić rok, w którym dane zostały zebrane oraz pierwszy odstęp w tym roku, używając parametru 8216start8217 w funkcji ts (). Jeśli na przykład pierwszy punkt danych odpowiada drugim kwartałowi 1986, należy ustawić początek (1986,2). Przykładem jest zestaw danych dotyczących liczby porodów miesięcznie w Nowym Jorku, od stycznia 1946 do grudnia 1959 (pierwotnie zebrane przez Newtona). Te dane są dostępne w pliku robjhyndmantsdldatadatanybirths. dat Możemy odczytać dane w R i zapisać je jako obiekt z serii czasowych, wpisując: Podobnie plik robjhyndmantsdldatadatafancy. dat zawiera miesięczną sprzedaż sklepu z pamiątkami w mieście nadmorskim w mieście Queensland, Australia, od stycznia 1987 do grudnia 1993 (oryginalne dane Wheelwright i Hyndman, 1998). Możemy odczytywać dane do R, wpisując: Serie ploterów Czas po przeczytaniu serii czasów w R, następnym krokiem jest generowanie wykresu danych szeregowych, które można wykonać z funkcją plot. ts () w R. Na przykład, aby wydrukować cykl czasowy wieku śmierci 42 kolejnych królów Anglii, wpisujemy: widać z wykresu czasowego, że ta seria czasów mogłaby być prawdopodobnie opisana przy użyciu modelu addytywnego, ponieważ przypadkowe wahania w danych są ze stałą wielkością w czasie. Podobnie, w celu sporządzenia serii czasowej liczby narodzin miesięcznie w Nowym Jorku, wpisujemy: od tamtej pory widzimy, że istnieje szereg sezonowych różnic w liczbie porodów miesięcznie: każdego lata jest szczyt , a koryta każdej zimy. Znowu wydaje się, że serie czasowe mogłyby być prawdopodobnie opisane przy użyciu modelu addytywnego, ponieważ sezonowe fluktuacje są w przybliżeniu nietrwałe w stosunku do wielkości i nie wydają się zależeć od szeregu czasów, a przypadkowe wahania również wydają się być w przybliżeniu stałej wielkości w czasie. Podobnie, aby zaplanować cykl miesięczny miesięcznej sprzedaży sklepu z pamiątkami w mieście nadmorskim w Queensland w Australii, wpisujemy: W tym przypadku okazuje się, że model dodatku nie jest odpowiedni do opisania tej serii czasowej, ponieważ rozmiar wahań sezonowych i losowych wahań wydają się wzrastać wraz z poziomem szeregu czasowego. W związku z tym musimy przekształcić szereg czasowy w celu otrzymania przekształconej serii czasowej, którą można opisać przy użyciu modelu addytywnego. Na przykład możemy przekształcić szereg czasowy, obliczając naturalny dziennik oryginalnych danych: widać, że wielkość wahań sezonowych i losowych wahań w seriach czasowych przekształcanych w logiście wydają się być stałą z czasem i nie zależy od poziomu serii czasowej. Tak więc serie czasów transformowanych logami można prawdopodobnie opisać przy użyciu modelu addytywnego. Dekompozycja serii czasów Podział na serie czasów polega na oddzieleniu jej od składowych składników, które są zazwyczaj składnikiem tendencji i składnikiem nieregularnym, a jeśli jest to sezon sezonowy, składnik sezonowy. Zdezaktualnianie danych poza sezonem Nieskoczłonowa seria czasowa składa się ze składnika tendencji i składnika nieregularnego. Podział na szereg czasowy polega na próbie rozdzielenia serii czasowej na te składniki, czyli oszacowania składnika tendencji i składnika nieregularnego. Aby oszacować składową trendu serii poza sezonem, którą można opisać przy użyciu modelu addytywnego, często stosuje się metodę wygładzania, taką jak obliczanie prostej średniej ruchomej serii czasowej. Funkcja SMA () w pakiecie 8220TTR8221 R może być wykorzystana do wygładzania danych serii czasowej za pomocą prostej średniej ruchomej. Aby skorzystać z tej funkcji musimy najpierw zainstalować pakiet 8220TTR8221 R (instrukcje dotyczące instalowania pakietu R, zobacz Jak zainstalować pakiet R). Po zainstalowaniu pakietu 8220TTR8221 R można załadować pakiet 8220TTR8221 R, wpisując: można użyć funkcji 8220SMA () 8221 do wygładzania danych serii czasowej. Aby użyć funkcji SMA (), należy określić kolejność (rozpiętość) prostej średniej ruchomej, używając parametru 8220n8221. Na przykład w celu obliczenia prostej średniej ruchomej rzędu 5, w funkcji SMA () n5. Na przykład, jak omówiono powyżej, seria czasów śmierci 42 kolejnych królów Anglii wydaje się nie-sezonowa, a prawdopodobnie może być opisana przy użyciu modelu addytywnego, ponieważ losowe fluktuacje danych są w przybliżeniu stale pod względem wielkości czas: W ten sposób możemy spróbować oszacować składową trendów w tej serii czasowej, wygładzając za pomocą prostej średniej ruchomej. Aby wygładzić cykl czasowy przy użyciu prostej średniej ruchomej rzędu 3 i wygładzić dane serii czasów wygładzonych, wpisujemy: ciągle wydaje się być dużo przypadkowych wahań w szeregach czasowych wygładzonych przy użyciu prostej średniej ruchomej rzędu 3. Zatem w celu bardziej dokładnego oszacowania składnika trendów, możemy spróbować wygładzić dane za pomocą prostej średniej ruchomej wyższego rzędu. Trwa to trochę prób i błędów, aby znaleźć odpowiednią ilość wygładzania. Na przykład możemy spróbować użyć prostej średniej ruchomej rzędu 8: Dane wygładzone za pomocą prostej średniej ruchomej rzędu 8 dają wyraźniejszy obraz składnika tendencji i możemy zobaczyć, że wiek śmierci niemieckich królów wydaje się zmniejszyły się z około 55 roku życia do około 38 lat w okresie panowania pierwszych 20 królów, a następnie wzrosły do ​​około 73 lat pod koniec panowania 40. króla w serii czasowej. Dekompozycja danych sezonowych Sezonowa seria czasów składa się ze składnika tendencji, składnika sezonowego i składnika nieprawidłowego. Rozłożenie szeregów czasowych oznacza oddzielenie szeregów czasowych od tych trzech składników: oszacowanie tych trzech składników. Aby oszacować składnik trendu i składnik sezonowy serii sezonów czasowych, które można opisać przy użyciu modelu addytywnego, możemy użyć funkcji 8220decompose () 8221 w R. Ta funkcja szacuje trend, sezonowe i nieregularne składniki szeregów czasowych, które można opisać przy użyciu modelu dodatku. Funkcja 8220decompose () 8221 zwraca obiekt będący jego wynikiem, gdzie szacowane elementy sezonowe, składnik tendencji i składnik nieregularny są przechowywane w nazwanych elementach obiektów list, nazywanych 8220seasonal8221, 8220trend8221 i 8220random8221. Na przykład, jak omówiono powyżej, seria czasowa liczby narodzin miesięcznie w Nowym Jorku jest sezonowa z szczytem każdego lata i koryta każdej zimy, a prawdopodobnie może być opisana przy użyciu modelu addytywnego, ponieważ sezonowe i przypadkowe wahania wydają się w przybliżeniu na stałym poziomie: Aby oszacować trend, sezonowe i nieregularne składniki tej serii czasowej, wpisujemy: Szacunkowe wartości sezonowych, trendu i nieregularnych składowych są teraz przechowywane w zmiennych czasach narodzinachgospodarstwowychzasobowych, narodzinachodporności i czasach narodzonychwspółprzypadkowych. Na przykład możemy wydrukować szacunkowe wartości składnika sezonowego, wpisując: Szacunkowe czynniki sezonowe podane są w miesiącach od stycznia do grudnia i są takie same dla każdego roku. Największy czynnik sezonowy to lipiec (około 1,46), a najmniejszy w lutym (około -2,08), wskazując, że w lipcu wydaje się, że w lutym rocznie nastąpi szczyt w urodzinach i narasta w porach roku urodzenia. Możemy sprecyzować szacowany trend, sezonowy i nieregularny składnik szeregów czasowych za pomocą funkcji 8220plot () 8221, na przykład: wykres powyżej przedstawia początkowe szeregi czasowe (góra), szacowany składnik tendencji (drugi od góry), szacowany składnik sezonowy (trzecia z góry) i szacowany składnik nieregularny (na dole). Widzimy, że szacowany składnik tendencji wykazuje niewielki spadek z około 24 w 1947 r. Do około 22 w 1948 r., A następnie stały wzrost od tego czasu do około 27 w 1959 r. Dostosowywanie sezonowe Jeśli masz sezon sezonowy, który można opisać przy użyciu modelu dodatku, można sezonowo dostosować serie czasowe, oceniając składnik sezonowy i odejmując szacowany składnik sezonowy z serii pierwotnych. Możemy to zrobić używając oszacowania składnika sezonowego obliczonego za pomocą funkcji 8220decompose () 8221. Na przykład, aby sezonowo dostosować serię czasów liczby narodzin miesięcznie w mieście Nowy Jork, możemy oszacować składnik sezonowy przy użyciu 8220decompose () 8221, a następnie odjąć składnik sezonowy z serii oryginalnych: możemy wtedy sprecyzować szeregów czasowych dostosowanych sezonowo przy użyciu funkcji 8220plot () 8221, wpisując: można zauważyć, że sezonowość została usunięta z sezonów dostosowanych sezonowo. Sezonowo skorygowany szereg czasowy zawiera teraz składową trendu i elementem nieregularnym. Prognozy za pomocą wyrównywania wykładniczego (Exponential Smoothing) Wyrównywanie wykładnicze można wykorzystać do krótkoterminowych prognoz dla danych z serii czasowych. Proste wyrównywanie wyrównawcze Jeśli masz szeregi czasowe, które można opisać przy użyciu modelu addytywnego o stałym poziomie i bez sezonowości, możesz użyć prostego wygładzania wykładniczego w celu krótkoterminowych prognoz. Prosta metoda wygładzania wykładniczego umożliwia oszacowanie poziomu w aktualnym punkcie czasowym. Wygładzanie jest kontrolowane przez parametr alfa dla oszacowania poziomu w aktualnym punkcie czasowym. Wartość alfa leży w przedziale od 0 do 1. Wartości alfa zbliżone do 0 oznaczają, że przy prognozowaniu przyszłych wartości niewielką wagę przywiązuje się do najnowszych obserwacji. Na przykład plik robjhyndmantsdldatahurstprecip1.dat zawiera całkowite roczny opad deszczu w Londynie w latach 1813-1912 (oryginalne dane z Hipel i McLeod, 1994). Możemy odczytywać dane w R i spisać je, wpisując: na wykresie widać, że jest to stały poziom (średnia wynosi około 25 cali). Losowe wahania w szeregach czasowych wydają się mieć stałą wielkość w miarę upływu czasu, więc właściwe jest opisanie danych przy użyciu modelu dodatku. Możemy więc tworzyć prognozy za pomocą prostego wygładzania wykładniczego. Aby dokonać prognoz przy użyciu prostego wyrównania wykładniczego w R, możemy dopasować prosty wykładnik wyrównujący predykcyjny wygładzanie za pomocą funkcji 8220HoltWinters () 8221 w R. Aby użyć programu HoltWinters () do prostego wygładzania wykładniczego, należy ustawić parametry betaFALSE i gammaFALSE w Funkcja HoltWinters () (parametry beta i gamma używane są do wygładzania wykładniczego Holt8217s lub wygładzania wykładniczego Holt-Wintersa, jak opisano poniżej). Funkcja HoltWinters () zwraca zmienną z listą zawierającą kilka nazwanych elementów. Na przykład, aby użyć prostego wyrównania wykładniczego do prognozowania szeregów czasowych rocznych opadów deszczu w Londynie, wpiszemy: Wyjście programu HoltWinters () informuje nas, że szacowana wartość parametru alfa wynosi około 0,024. Jest to bardzo bliska zeru, informując, że prognozy opierają się zarówno na niedawnych, jak i niedawnych obserwacjach (chociaż w ostatnich obserwacjach nieco większą wagę). Domyślnie program HoltWinters () po prostu generuje prognozy w tym samym przedziale czasowym objętym oryginalnymi seriami czasowymi. W tym przypadku w naszych oryginalnych cyklach czasowych pojawiły się opady deszczu w Londynie w latach 1813-1912, a więc prognozy również w latach 1813-1912. W powyższym przykładzie zapisaliśmy wynik funkcji HoltWinters () w zmiennej listowej 8220rainseriesforecasts8221. Prognozy wykonane przez HoltWinters () są przechowywane w nazwanym elemencie tej zmiennej listy o nazwie 8220fitted8221, dzięki czemu możemy uzyskać ich wartości poprzez wpisanie: możemy wydrukować serie czasów oryginalnych w stosunku do prognoz, wpisując: wykres pokazuje oryginalną serię czasową czarny i prognozy jako czerwona linia. Seria prognoz czasowych jest dużo płynniejsza niż szereg czasowy oryginalnych danych. Jako miarę dokładności prognoz możemy obliczyć sumę kwadratów błędów w przypadku błędów prognozowanych w próbce, czyli błędów prognozy dla okresu objętego pierwotną serią czasową. Błędy sumy kwadratów są przechowywane w nazwanym elemencie zmiennej listy 8220rainseriesforecasts8221 o nazwie 8220SSE8221, dzięki czemu możemy uzyskać jej wartość, wpisując: Oto błędy sumy kwadratów to 1828.855. Jest to powszechne w prostym wyrównaniu wykładniczym, aby używać pierwszej wartości w serii czasowej jako wartości początkowej dla poziomu. Na przykład w serii czasowej dla opadów deszczu w Londynie pierwsza wartość to 23.56 cali dla opadów deszczu w 1813 roku. Wartość parametru poziomu w funkcji HoltWinters () można określić przy użyciu parametru 8220l. start8221. Na przykład, aby wprowadzić prognozy z wartością początkową poziomu ustawionego na 23.56, wpiszemy: Jak wyjaśniono powyżej, domyślnie HoltWinters () po prostu podaje prognozy dla okresu czasu objętego oryginalnymi danymi, czyli 1813-1912 dla opadów deszczu szereg czasowy. Możemy prognozować kolejne punkty czasowe, korzystając z funkcji 8220forecast. HoltWinters () 8221 w pakiecie R 8220forecast8221. Aby skorzystać z funkcji forecast. HoltWinters (), musimy najpierw zainstalować pakiet 8220forecast8221 R (instrukcje dotyczące instalowania pakietu R znajdują się w artykule Jak zainstalować pakiet R). Po zainstalowaniu pakietu 8220forecast8221 R można załadować pakiet 8220forecast8221 R, wpisując: Podczas korzystania z funkcji forecast. HoltWinters (), jako swojego pierwszego argumentu (wejścia), przekazujesz model predykcyjny, który został już zainstalowany przy użyciu Funkcja HoltWinters (). Na przykład w przypadku serii opadów deszczu przechowywaliśmy model predykcyjny wykonany przy użyciu metody HoltWinters () w zmiennej 8220rainseriesforecasts8221. Określasz, ile kolejnych punktów czasowych chcesz wprowadzić do prognoz przy użyciu parametru 8220h8221 w prognozie. HoltWinters (). Na przykład, aby prognozować opady deszczu na lata 1814-1820 (kolejne 8 lat) przy użyciu prognozy. HoltWinters (), wpisujemy: funkcja forecast. HoltWinters () przewiduje prognozę na rok, 80 przedział przewidywania dla prognozy i 95 przedziału przewidywania dla prognozy. Na przykład przewidywane opady deszczu na rok 1920 wynoszą około 24,68 cali, z 95 przedziałami przewidywania (16,24, 33,11). Aby wykreślić prognozy wykonane przez prognozę. HoltWinters (), możemy użyć funkcji 8221plot. forecast () 8221: tutaj prognozy na lata 1913-1920 są oznaczone jako niebieska linia, 80 przedział przewidywania jako pomarańczowy zacieniony obszar, a 95 przedziału predykcji jako żółtego zacienionego obszaru. Błędy 8216forecasta8217 są obliczane jako wartości obserwowane pomniejszone o przewidywane wartości, dla każdego punktu czasowego. Możemy obliczyć tylko błędy prognozy dla okresu objętego pierwotną serią czasową, która wynosi 1813-1912 dla danych opadów deszczu. Jak wspomniano powyżej, jedną miarą dokładności modelu predykcyjnego są sumy kwadratów (SSE) dla błędów prognozowanych w próbce. Błędy prognozowania w próbce są przechowywane w elemencie o nazwie 8220residual8221 zmiennej listy zwróconej przez prognozę. HoltWinters (). Jeśli nie można poprawić modelu predykcyjnego, nie powinno być korelacji pomiędzy błędami prognozy dla kolejnych prognoz. Innymi słowy, jeśli istnieje prawdopodobieństwo korelacji między błędami prognozy dla kolejnych prognoz, prawdopodobnie prawdopodobne może być poprawienie prostych prognoz wygładzania wykładniczego za pomocą innej techniki prognozowania. Aby dowiedzieć się, czy jest to przypadek, możemy uzyskać korelację błędów prognozowanych w przypadku próbek dla opóźnień 1-20. Możemy obliczyć korelację błędów prognozy za pomocą funkcji 8220acf () 8221 w R. Aby określić maksymalny czas opóźnienia, na który chcemy się przyjrzeć, w acf () używamy parametru 8220lag. max8221. Na przykład, aby wyliczyć korelogram błędu prognozowania w próbce dla danych o opadach lcd w przypadku opóźnień 1-20, wpiszemy: z przykładowego regresji, że autokorelacja w punkcie 3 tylko dotyka granic istotnych. Aby sprawdzić, czy istnieją znaczące dowody na niezerowe korelacje w przypadku opóźnień 1-20, możemy przeprowadzić test Ljung-Box. Można to zrobić w R przy użyciu funkcji 8220Box. test () 8221. Maksymalne opóźnienie, które chcemy obejrzeć, jest określone przy użyciu parametru 8220lag8221 w funkcji Box. test (). Na przykład, aby sprawdzić, czy występują niezerowe autokorelacje w przypadku opóźnień 1-20, w przypadku błędów prognozy w przypadku danych o opadach w Londynie wpisujemy: W tym przypadku statystyka testowa Ljung-Box wynosi 17,4, a wartość p wynosi 0,6 , więc niewiele wskazuje na niezerowe autokorelacje w błędach prognozowania próbek w przypadku opóźnień 1-20. Aby mieć pewność, że nie można poprawić modelu predykcyjnego, dobrze jest sprawdzić, czy błędy prognozy są normalnie rozprowadzane ze średnią zerową i stałą odmiennością. Aby sprawdzić, czy błędy prognozy mają stałą odmianę, możemy sporządzić wykresy czasowe błędów prognozowanych w próbce: wykres pokazuje, że błędy prognozowania w próbce wydają się mieć stałą zmienność w czasie, chociaż wielkość wahań w początek serii czasowej (1820-1830) może być nieco mniejszy niż w późniejszych datach (np. 1840-1850). Aby sprawdzić, czy błędy prognozy są normalnie rozprowadzone ze średnim zerem, możemy wydrukować histogram błędów prognozy, z nałożoną normalną krzywą, która ma średnie zera i takie same odchylenia standardowe, co rozkład błędów prognozy. W tym celu możemy zdefiniować funkcję R 8220plotForecastErrors () 8221 poniżej: Będziesz musiał skopiować powyższą funkcję do R, aby ją użyć. Następnie można użyć plotForecastErrors () do wykreślania histogramu (z pokrytą krzywą normalną) prognozowanych błędów prognoz dotyczących opadów deszczu: wykres pokazuje, że rozkład błędów prognozy jest mniej więcej skupiony na zerze i jest mniej lub bardziej rozproszony, chociaż to wydaje się być lekko pochylony na prawo w porównaniu do normalnej krzywej. Jednak prawy skośny jest stosunkowo niewielki i dlatego jest prawdopodobne, że błędy prognozy są normalnie rozłożone ze średnim zerem. Badanie Ljung-Box wykazało, że w błędach prognozowanych w próbce występują niewiele dowodów na niezerowe autokorelacje, a rozkład błędów prognozy wydaje się normalnie rozprowadzony ze średnim zerem. To sugeruje, że prosta metoda wyrównywania wykładniczego stanowi odpowiedni model predykcyjny dla londyńskich opadów, których prawdopodobnie nie można poprawić. Ponadto założyliśmy, że 80 i 95 przewidywanych interwałów są uzasadnione (że w błędach prognozy nie występują autokorelacje, a błędy prognozowane są zwykle rozkładem średniej zera i stałej wariancji). Wygładzanie wykładnicze Holt8217s Jeśli masz szereg czasowy, który można opisać przy użyciu modelu addytywnego z tendencją rosnącą lub malejącą i nie ma sezonowości, możesz użyć wygładzania wykładniczego Holt8217s w celu krótkoterminowych prognoz. Wyrównanie wykładnicze Holt8217s szacuje poziom i nachylenie w bieżącym punkcie czasowym. Wygładzanie jest kontrolowane przez dwa parametry, alfa, dla oszacowania poziomu w bieżącym punkcie czasowym, a beta dla oszacowania nachylenia b składnika tendencji w bieżącym punkcie czasowym. Podobnie jak w przypadku prostego wygładzania wykładniczego, parametry alfa i beta mają wartości od 0 do 1, a wartości bliskie 0 oznaczają, że przy prognozowaniu przyszłych wartości niewielką wagę przywiązuje się do najnowszych obserwacji. Przykład serii czasów, która prawdopodobnie zostanie opisana przy użyciu modelu addytywnego z tendencją i sezonem nie jest serią czasową rocznej średnicy spódniczek kobiet w latach 1866 do 1911. Dane są dostępne w pliku robjhyndmantsdldatarobertsskirts. dat (oryginalne dane z Hipel i McLeod, 1994). Możemy odczytywać i zapisywać dane w R, wpisując: widać z wykresu, że wzrost średnicy od około 600 w 1866 do około 1050 w 1880 roku, a potem średnica półfabrykatu spadła do około 520 w 1911 roku Aby wykonać prognozy, możemy użyć modelu predykcyjnego przy użyciu funkcji HoltWinters () w R. Aby użyć funkcji HoltWinters () do wygładzania wykładniczego Holt8217s, należy ustawić parametr gammaFALSE (parametr gamma jest używany do wygładzania wykładniczego Holt-Wintersa, Jak opisano poniżej). Na przykład, aby użyć wyrównania wykładniczego Holt8217s w celu dopasowania modelu predykcyjnego do średnicy trzpienia, wpisujemy: Szacunkowa wartość alfa wynosi 0,84, a beta - 1,00. Są to zarówno wysokie, informując, że zarówno oszacowanie bieżącej wartości poziomu, jak i nachylenia b składnika tendencji są oparte głównie na bardzo niedawnych obserwacjach w serii czasowych. To sprawia dobre wrażenie intuicyjne, ponieważ poziom i nachylenie szeregów czasowych zmieniają się dosyć z czasem. Wartość błędów sumy kwadratów dla błędów prognozowanych w próbce wynosi 16954. Możemy wydrukować serie czasów oryginalnych jako czarną linię, z prognozowanymi wartościami jako czerwoną linią na wierzchołku tego wpisując: widać na zdjęciu, że prognozy dla próbek zgadzają się całkiem dobrze z obserwowanymi wartościami, choć zazwyczaj mają tendencję do opóźnienia za obserwowanymi wartościami. Jeśli chcesz, możesz określić początkowe wartości poziomu i nachylenia b składnika trendu, korzystając z argumentów 8220l. start8221 i 8220b. start8221 dla funkcji HoltWinters (). Zwykle ustalana jest początkowa wartość poziomu do pierwszej wartości w serii czasowej (608 dla danych spódnic), a wartość początkowa nachylenia do drugiej wartości minus pierwsza wartość (9 dla danych spódnic). Na przykład, aby dopasować model predykcyjny do danych osłony za pomocą wyrównania wykładniczego Holt8217s, przy początkowych wartościach 608 dla poziomu i 9 dla nachylenia b składowej tendencji, wpisujemy: Dla prostego wygładzania wykładniczego możemy przewidzieć dla przyszłych czasów nieobjętych pierwotną serią czasową przy użyciu funkcji forecast. HoltWinters () w pakiecie 8220forecast8221. Na przykład nasze dane z serii czasowej na haczyki do spódnic były dostępne w latach 1866-1911, więc możemy przewidzieć od 1912 do 1930 (19 dodatkowych punktów danych) i spisać je, wpisując: prognozy są wyświetlane jako niebieska linia, a 80 przedziałów przewidywania jako pomarańczowy zacieniony obszar, a 95 przedziałów przewidywania jako żółtego zacienionego obszaru. Jeśli chodzi o proste wyrównywanie wykładnicze, możemy sprawdzić, czy model predykcyjny można poprawić, sprawdzając, czy błędy prognozy w próbce wykazują niezerowe autokorelacje w przypadku opóźnień 1-20. Na przykład w przypadku danych z spódnicą możemy wykonać korespondencję i przeprowadzić test Ljung-Box, wpisując następujący kod: w tym punkcie korespondencji wynika, że ​​próbka autokorelacji dla błędów prognozowanych w próbce w punkcie opóźnienia 5 przekracza znaczące granice. Spodziewamy się jednak, że jedna na 20 autokorelacji w pierwszych dwudziestu opcjach może przekroczyć 95 wartościowych ograniczeń przypadkowo. Naprawdę, gdy przeprowadzamy test Ljung-Box, wartość p wynosi 0,47, co wskazuje, że w błędach prognozowania próbek w przypadku opóźnień 1-20 jest niewiele dowodów na brak autokreacji. Jeśli chodzi o prosty wygładzanie wykładnicze, należy również sprawdzić, czy błędy prognozy mają stałą zależność od czasu i są zwykle rozdzielane ze średnim zerem. Możemy to zrobić, tworząc wykres czasowy błędów prognozy oraz histogram rozkładu błędów prognozowanych z nałożoną krzywą normalną: wykres czasowy błędów prognozy wskazuje, że błędy prognozy mają stałą różnicę w czasie. Histogram błędów prognozuje, że prawdopodobne jest, że błędy prognozy są zazwyczaj rozdzielane ze średnią zerową i stałą odchyleniem. Zatem test Ljung-Box wykazuje, że w błędach prognozy występują niewiele dowodów na autokorelacje, podczas gdy wykres czasowy i histogram błędów prognoz pokazują, że prawdopodobne jest, że błędy prognozy są normalnie rozprowadzane ze średnią zerową i stałą odchyleniem. Dlatego możemy wyciągnąć wniosek, że wygładzanie wykładnicze Holt8217s zapewnia odpowiedni model predykcyjny średnic osłony, których prawdopodobnie nie można poprawić. Ponadto oznacza to, że przypuszczenia, że ​​założenia, na podstawie których przewidywano odstępy 80 i 95, są prawdopodobnie ważne. Wyrównywanie wykładnicze Holt-Winters Jeśli masz szeregi czasowe, które można opisać przy użyciu modelu addytywnego ze wzrastającym lub malejącym trendem i sezonowością, możesz użyć wygładzania wykładniczego Holt-Winters w celu krótkoterminowych prognoz. Wyrównywanie wykładnicze Holt-Winters szacuje poziom, nachylenie i składnik sezonowy w aktualnym punkcie czasowym. Wygładzanie jest kontrolowane przez trzy parametry: alfa, beta i gamma, dla oszacowania poziomu, nachylenia b składnika tendencji i składnika sezonowego w bieżącym punkcie czasowym. Parametry alfa, beta i gamma mają wartości od 0 do 1, a wartości bliskie 0 oznacza, że ​​przy prognozowaniu przyszłych wartości stosunkowo niewielką wagę przywiązuje się do najnowszych obserwacji. Przykładem serii czasowej, którą można prawdopodobnie opisać przy użyciu modelu dodatku o trendzie i sezonowości, jest cykl czasowy dziennika miesięcznej sprzedaży sklepu z pamiątkami w mieście nadmorskim w Queensland w Australii (omówione powyżej): prognozy, możemy dopasować model predykcyjny przy użyciu funkcji HoltWinters (). Na przykład, aby dopasować model predykcyjny do dziennika miesięcznej sprzedaży w sklepie z pamiątkami, wpisujemy: Szacunkowe wartości alfa, beta i gamma wynoszą odpowiednio 0,41, 0,00 i 0,96. Wartość alfa (0,41) jest stosunkowo niska, wskazując, że szacunek poziomu w aktualnym punkcie czasowym opiera się zarówno na ostatnich obserwacjach, jak i na obserwacjach w bardziej odległej przeszłości. Wartość beta wynosi 0,00, co wskazuje, że oszacowanie nachylenia b składnika trendu nie jest aktualizowane w serii czasowej, a zamiast tego jest równe wartości początkowej. To czyni dobrą intuicję, ponieważ poziom zmienia się nieco w serii czasów, ale nachylenie b składnika tendencji pozostaje mniej więcej takie samo. Natomiast wartość gamma (0,96) jest wysoka, co wskazuje, że oszacowanie składnika sezonowego w bieżącym punkcie czasowym jest oparte jedynie na bardzo niedawnych obserwacjach. Jeśli chodzi o wyrównywanie wykładnicze i wyrównanie wykładnicze Holt8217s, możemy wyprowadzić serię czasów jako czarną linię, z przewidywanymi wartościami jako czerwoną linią na wierzchołku: Widzimy z wykresu, że metoda wykładnicza Holt-Wintersa jest bardzo udana w przewidywaniu szczytów sezonowych, które mają miejsce w listopadzie każdego roku. Aby przewidzieć przyszłe czasy, nieuwzględnione w oryginalnych seriach czasowych, używamy funkcji 8220forecast. HoltWinters () 8221 w pakiecie 8220forecast8221. Na przykład oryginalne dane dotyczące sprzedaży pamiątek to od stycznia 1987 r. Do grudnia 1993 r. Jeśli chcielibyśmy przewidzieć od stycznia 1994 r. Do grudnia 1998 r. (48 dalszych miesięcy) i przedstawić prognozy, wpisujemy: prognozy są przedstawione jako niebieska linia, a pomarańczowe i żółte zacienione obszary wykazują odpowiednio 80 i 95 przedziałów przewidywania. Możemy zbadać, czy można poprawić model predykcyjny, sprawdzając, czy błędy prognozy w próbce wykazują niezerowe autokorelacje w przypadku opóźnień 1-20, poprzez wykonanie korlomisji i przeprowadzenie testu Ljung-Box: Kriografram pokazuje, że autokorelacje w przypadku błędów prognozowanych w próbce nie przekracza granic istotnych dla opóźnień 1-20. Ponadto, wartość p dla testu Ljung-Box wynosi 0,6, co wskazuje, że istnieje niewiele dowodów na niezerową autokorelację w przypadku opóźnień 1-20. Możemy sprawdzić, czy błędy prognozy mają stałą zależność od czasu i są zwykle rozdzielane ze średnim zerem, tworząc wykres czasowy błędów prognozy i histogram (z pokrytą normalną krzywą): Z wykresu czasowego wydaje się prawdopodobne, że błędy prognozy mają stałą różnicę w czasie. Z histogramu prognozowanych błędów wydaje się prawdopodobne, że błędy prognozy są normalnie rozprowadzane ze średnim zerem. Zatem niewiele jest dowodów na autokorelację z opóźnieniami 1-20 dla prognozowanych błędów, a błędy prognozy wydają się zwykle rozkładane ze średnią zerową i stałą odchyleniem w czasie. This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predictive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon. Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series. However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account. Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series ARIMA models are defined for stationary time series. Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to 8216difference8217 the time series until you obtain a stationary time series. If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA(p, d,q) model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the 8220diff()8221 function in R. For example, the time series of the annual diameter of women8217s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time: We can difference the time series (which we stored in 8220skirtsseries8221, see above) once, and plot the differenced series, by typing: The resulting time series of first differences (above) does not appear to be stationary in mean. Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series: Formal tests for stationarity Formal tests for stationarity called 8220unit root tests8221 are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences (above) does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time. Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA(p, d,q) model for your time series, where d is the order of differencing used. For example, for the time series of the diameter of women8217s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing (d) is 2. This means that you can use an ARIMA(p,2,q) model for your time series. The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England (see above): From the time plot (above), we can see that the time series is not stationary in mean. To calculate the time series of first differences, and plot it, we type: The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA(p,1,q) model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England. By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component. We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA(p, d,q) model. To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions in R, respectively. To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set 8220plotFALSE8221 in the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type: We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 (-0.360) exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the 8220pacf()8221 function, by typing: The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag (lag 1: -0.360, lag 2: -0.335, lag 3:-0.321). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3. Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA (autoregressive moving average) models are possible for the time series of first differences: an ARMA(3,0) model, that is, an autoregressive model of order p3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(0,1) model, that is, a moving average model of order q1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero an ARMA(p, q) model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero (although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate) We use the principle of parsimony to decide which model is best: that is, we assum e that the model with the fewest parameters is best. The ARMA(3,0) model has 3 parameters, the ARMA(0,1) model has 1 parameter, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, the ARMA(0,1) model is taken as the best model. An ARMA(0,1) model is a moving average model of order 1, or MA(1) model. This model can be written as: Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where Xt is the stationary time series we are studying (the first differenced series of ages at death of English kings), mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA (moving average) model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut: the auto. arima() function The auto. arima() function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg. type 8220library(forecast)8221, then 8220auto. arima(kings)8221. The output says an appropriate model is ARIMA(0,1,1). Since an ARMA(0,1) model (with p0, q1) is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA(0,1,1) model (with p0, d1, q1, where d is the order of differencing required). Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere Let8217s take another example of selecting an appropriate ARIMA model. The file file robjhyndmantsdldataannualdvi. dat contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 (original data from Hipel and Mcleod, 1994). This is a measure of the impact of volcanic eruptions8217 release of dust and aerosols into the environment. We can read it into R and make a time plot by typing: From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time. Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series (the order of differencing required, d, is zero here). We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use: We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3. The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag (lag 1: 0.666, lag 2: 0.374, lag 3: 0.162). The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds (especially for lag 19), the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds (0.666), while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds (-0.126). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2. Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series: an ARMA(2,0) model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2 an ARMA(0,3) model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(p, q) mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero (although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate) Shortcut: the auto. arima() function Again, we can use auto. arima() to find an appropriate model, by typing 8220auto. arima(volcanodust)8221, which gives us ARIMA(1,0,2), which has 3 parameters. However, different criteria can be used to select a model (see auto. arima() help page). If we use the 8220bic8221 criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA(2,0,0), which is ARMA(2,0): 8220auto. arima(volcanodust, ic8221bic8221)8221. The ARMA(2,0) model has 2 parameters, the ARMA(0,3) model has 3 parameters, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA(2,0) model and ARMA(p, q) model are equally good candidate models. An ARMA(2,0) model is an autoregressive model of order 2, or AR(2) model. This model can be written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Xt is the stationary time series we are studying (the time series of volcanic dust veil index), mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR (autoregressive) model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA(2,0) model (with p2, q0) is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA(2,0,0) model can be used (with p2, d0, q0, where d is the order of differencing required). Similarly, if an ARMA(p, q) mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA(p,0,q) model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model Once you have selected the best candidate ARIMA(p, d,q) model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA(p, d,q) model using the 8220arima()8221 function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, we discussed above that an ARIMA(0,1,1) model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England. You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the 8220order8221 argument of the 8220arima()8221 function in R. To fit an ARIMA(p, d,q) model to this time series (which we stored in the variable 8220kingstimeseries8221, see above), we type: As mentioned above, if we are fitting an ARIMA(0,1,1) model to our time series, it means we are fitting an an ARMA(0,1) model to the time series of first differences. An ARMA(0,1) model can be written Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where theta is a parameter to be estimated. From the output of the 8220arima()8221 R function (above), the estimated value of theta (given as 8216ma18217 in the R output) is -0.7218 in the case of the ARIMA(0,1,1) model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals You can specify the confidence level for prediction intervals in forecast. Arima() by using the 8220level8221 argument. For example, to get a 99.5 prediction interval, we would type 8220forecast. Arima(kingstimeseriesarima, h5, levelc(99.5))8221. We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the 8220forecast. Arima()8221 function in the 8220forecast8221 R package. For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type: The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings. The forecast. Arima() function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings (kings 43-47), as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions. The age of death of the 42nd English king was 56 years (the last observed value in our time series), and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67.8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA(0,1,1) model, by typing: As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA(0,1,1) model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing: Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0.9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20. To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram (with overlaid normal curve) of the forecast errors: The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time (though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series). The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero. Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA(0,1,1) does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA(2,0,0) model. To fit an ARIMA(2,0,0) model to this time series, we can type: As mentioned above, an ARIMA(2,0,0) model can be written as: written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated. The output of the arima() function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0.7533 and -0.1268 here (given as ar1 and ar2 in the output of arima()). Now we have fitted the ARIMA(2,0,0) model, we can use the 8220forecast. ARIMA()8221 model to predict future values of the volcanic dust veil index. The original data includes the years 1500-1969. To make predictions for the years 1970-2000 (31 more years), we type: We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing: One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima() and forecast. Arima() functions don8217t know that the variable can only take positive values. Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance. To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test: The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds. However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds. Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0.2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20. To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram: The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time. However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean. We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0.22: The histogram of forecast errors (above) shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve. Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA(2,0,0) model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon Links and Further Reading Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the 8220Kickstarting R8221 website, cran. r-project. orgdoccontribLemon-kickstart . There is another nice (slightly more in-depth) tutorial to R available on the 8220Introduction to R8221 website, cran. r-project. orgdocmanualsR-intro. html . You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage . To learn about time series analysis, I would highly recommend the book 8220Time series8221 (product code M24902) by the Open University, available from the Open University Shop . There are two books available in the 8220Use R8221 series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. Acknowledgements I am grateful to Professor Rob Hyndman. for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library (TSDL) in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, 8220Time series8221 (product code M24902), available from the Open University Shop . Thank you to Ravi Aranke for bringing auto. arima() to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors(). Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me (Avril Coghlan) corrections or suggestions for improvements to my email address alc 64 sanger 46 ac 46 uk2.1 Moving Average Models (MA models) Time series models known as ARIMA models may include autoregressive terms andor moving average terms. W pierwszym tygodniu dowiedzieliśmy się, że termin autoregresji w modelu szeregów czasowych dla zmiennej x t jest opóźnioną wartością x t. Na przykład terminem autoregresji 1 opóźnienia jest x t-1 (pomnożony przez współczynnik). Ta lekcja definiuje ruchome średnie terminy. Ruchoma średnia wersja w modelu szeregów czasowych jest błędem w przeszłości pomnożonym przez współczynnik. Niech (przewyższa N (0, sigma2w)), co oznacza, że ​​w t są identycznie, niezależnie rozdzielane, każdy z normalnym rozkładem mającym średnią 0 i tę samą wariancję. Średni model średniej ruchomej, oznaczony symbolem MA (1) to (xt mu wt atta1w) Średni model ruchu średniego rzędu, oznaczony symbolem MA (2) to (xt mu wt atta1w theta2w) , oznaczone literą MA (q) jest (xt mc i k ta2t w kropki tetaqw) Uwaga. Wiele podręczników i programów definiuje model z negatywnymi znakami przed terminami. To nie zmienia ogólnych teoretycznych właściwości modelu, chociaż odwraca znaki algebraiczne oszacowanych wartości współczynników i (niezakłóconych) w formułach dla ACF i wariancji. Musisz sprawdzić oprogramowanie w celu sprawdzenia, czy użyto negatywnych lub pozytywnych oznaczeń w celu poprawnego zapisania szacowanego modelu. R używa pozytywnych oznaczeń w swoim modelu bazowym, tak jak tutaj. Właściwości teoretyczne serii czasowej z modelem MA (1) Należy pamiętać, że jedyną niższą wartością w teoretycznym ACF jest opóźnienie 1. Wszystkie inne autokorelacje wynoszą 0. Tak więc próbka ACF o znacznej autokorelacji tylko w punkcie 1 jest wskaźnikiem możliwego modelu MA (1). Dla zainteresowanych studentów, dowody dotyczące tych właściwości stanowią załącznik do niniejszego materiału informacyjnego. Przykład 1 Załóżmy, że model MA (1) wynosi x t 10 w t .7 w t-1. gdzie (nadwrażliwość N (0,1)). Współczynnik 1 0,7. Teoretyczny ACF podano w poniższym wykresie ACF. Przedstawiona fabuła jest teoretycznym ACF dla MA (1) z 1 0,7. W praktyce próbka zazwyczaj nie dostarcza tak wyraźnego wzorca. Używając R, symulujemy 100 wartości próbek przy użyciu modelu x t 10 w t .7 w t-1, gdzie w t iid N (0,1). W tej symulacji powstaje ciąg szeregowy danych przykładowych. Nie możemy wiele powiedzieć z tej fabuły. Poniżej znajduje się próbka ACF dla danych symulowanych. Widzimy skok w punkcie 1, a następnie ogólnie wartości nieistotne dla opóźnień 1. Pamiętaj, że próbka ACF nie jest zgodna z teoretycznym wzorem MA (1) leżącego u podstawy, co oznacza, że ​​wszystkie autokorelacje w przypadku opóźnień 1 będą 0 Inna próbka miałaby nieco inną próbkę ACF pokazaną poniżej, ale najprawdopodobniej miałyby takie same cechy. Właściwości terapeutyczne serii czasowej z modelem MA (2) Dla modelu MA (2), właściwości teoretyczne są następujące: Należy zauważyć, że jedynymi wartościami niezonarnymi w teoretycznym ACF są opóźnienia 1 i 2. Autokorelacje dla wyższych opóźnień to 0 Więc próba ACF o istotnych autokorelacjach w przypadku opóźnień 1 i 2, ale nieistotne autokorelacje dla wyższych opóźnień wskazują na możliwy model MA (2). iid N (0,1). Współczynniki wynoszą 1 0,5 i 2 0,3. Ponieważ jest to MA (2), teoretyczny ACF będzie miał wartości inne niż z opóźnieniami 1 i 2. Wartości dwóch niezerowych autokorelacji to wykres A teoretycznej ACF. Jak prawie zawsze jest tak, dane próbki nie zachowują się tak doskonale jak teoria. Symulujemy n 150 wartości próbek dla modelu x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. gdzie w t iid N (0,1). Sporządza się szeregowy szereg danych. Podobnie jak w przypadku szeregów czasowych dla danych próbki MA (1), niewiele można powiedzieć o tym. Poniżej znajduje się próbka ACF dla danych symulowanych. Wzór jest typowy dla sytuacji, gdy model MA (2) może być użyteczny. Istnieją dwa statystycznie istotne skoki przy opóźnieniach 1 i 2, po których następują nieistotne wartości dla innych opóźnień. Zauważ, że z powodu błędu pobierania próbek próbka ACF nie pasowała dokładnie do teoretycznego wzoru. ACF dla modeli MA (q) Modeli Ogólną cechą modeli MA (q) jest to, że dla wszystkich pierwszych opóźnień q i autokorelacji 0 dla wszystkich luków gtq istnieją autokorelacje nie zerowe. Niepowtarzalność połączenia pomiędzy wartościami 1 i (rho1) w modelu MA (1). W modelu MA (1) dla dowolnej wartości 1. odwrotny 1 1 daje taką samą wartość jak dla przykładu, użyj 0,5 dla 1. a następnie użyj 1 (0.5) 2 dla 1. Otrzymasz (rho1) 0,4 w obu przypadkach. Aby zaspokoić teoretyczne ograniczenie zwane "invertibility". ograniczamy modele MA (1) do wartości z wartością bezwzględną mniejszą niż 1. W podanym przykładzie, 1 0,5 będzie dopuszczalną wartością parametru, podczas gdy 1 10,5 2 nie będzie. Odwrotność modeli MA Model macierzowy jest odwracalny, jeśli jest on algebraiczny, odpowiadający modelowi zbiegającemu się z nieskończonym modelem AR. Zbiegając się, rozumiemy, że współczynniki AR zmniejszają się do 0, gdy wracamy w czasie. Inwersja to ograniczenie zaprogramowane w oprogramowanie serii czasowej służące do oszacowania współczynników modeli z hasłami. To nie coś, co sprawdzamy w analizie danych. Dodatkowe informacje o ograniczeniu inwersji dla modeli MA (1) podano w dodatku. Uwagi dotyczące teorii zaawansowanej. W modelu MA (q) z określonym ACF jest tylko jeden model odwracalny. Warunkiem koniecznym do odwrócenia jest fakt, że współczynniki mają takie wartości, że równanie 1- 1 y-. - q y q 0 ma rozwiązania dla y, które leżą poza okręgiem jednostkowym. R dla przykładów W przykładzie 1 wykreślono teoretyczny ACF modelu x t 10 w t. 7w t-1. a następnie symulowane n 150 wartości z tego modelu i wykreślono szereg próbkowania i próbkę ACF dla danych symulowanych. Polecenia R służące do sporządzenia teoretycznej ACF to: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 opóźnień ACF dla MA (1) z theta1 0,7 lags0: 10 tworzy zmienną o nazwie opóźnienia w zakresie od 0 do 10 (h0) dodaje osi poziomej do wykresu Pierwsze polecenie określa ACF i zapisuje je w obiekcie (np. o nazwie acfma1 (nasz wybór nazwy). Polecenie wydruku (trzecie polecenie) powoduje błędy w porównaniu do wartości ACF dla opóźnień 1 do 10. Parametr ylab etykietuje na osi y, a główny parametr umieszcza tytuł na wykresie. Aby zobaczyć wartości liczbowe ACF, użyj komendy acfma1. Symulacje i wykresy zostały wykonane za pomocą następujących poleceń. xcarc. sim (n150, lista (mac (0.7))) Symuluje n 150 wartości z MA (1) xxc10 dodaje 10 do średniej 10. Domyślnie domyślne symulacje to 0. wykres (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) acf (x, xlimc (1,10), mainACF dla symulowanych danych próbki) W przykładzie 2 wymyśliliśmy teoretyczny ACF modelu xt 10 wt5 w t-1 .3 w t-2. a następnie symulowane n 150 wartości z tego modelu i wykreślono szereg próbkowania i próbkę ACF dla danych symulowanych. Stosowane komendy R to acfma2ARMAacf (mac (0.5.0.3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typh, główny ACF dla MA (2) z theta1 0,5, (x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, y) mainACF dla symulowanych danych MA (2)) Dodatek: Dowód właściwości MA (1) Dla zainteresowanych studentów są dowody na teoretyczne właściwości modelu MA (1). Variance: (text (xt) text (mu wt theta1 w) tekst 0 (wt) tekst (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Kiedy h 1, poprzedni wyrażenie 1 w 2. W przypadku dowolnego h2, poprzednie wyrażenie 0 Powodem jest to, że z definicji niezależności wag. E (w k w j) 0 dla dowolnej kj. Ponadto, ponieważ w t oznaczają 0, E (wjwj) E (wj2) w2. W serii czasów Zastosuj ten wynik, aby uzyskać ACF podany powyżej. Inwersyjny model MA to taki, który można zapisać jako model AR nieskończony, który zbiega się tak, że współczynniki AR zbiegają się do 0, gdy poruszamy się nieskończenie wstecz w czasie. Dobrze wykazać inwersję modelu MA (1). Następnie zastępujemy relację (2) dla t-1 w równaniu (1) (3) (zt wt theta1 (z-taleta) wt theta1z-tal2w) W czasie t-2. (2) staje się zastępującym związek (4) dla t-2 w równaniu (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - eta21 (zteta1w) wt theta1z - eta12z theta31w) Gdybyśmy kontynuowali ( nieskończoność) dostaniemy model nieskończonej AR (zt wt theta1 z - theta21z theta31z-theta41z dots) Zauważ jednak, że jeśli 1 1, współczynniki mnożące opóźnienia z będą wzrastać (nieskończenie) w rozmiarze, gdy wracamy z powrotem czas. Aby temu zapobiec, potrzebujemy 1 lt1. Jest to warunek odwracalnego modelu MA (1). Model nieskoordynowanych zamówień MA W trzecim tygodniu dobrze widać, że model AR (1) można przekształcić w model MA nieskończonego rzędu: (xt - mu wt phi1w phi21w kropki phik1 w kropkach sumy fij1w) To sumowanie przeszłych hałasu białego jest znane jako przyczynę reprezentacji AR (1). Innymi słowy, x t jest specjalnym rodzajem magistra z nieskończoną liczbą terminów z czasem. Nazywa się to nieskończoną kolejnością MA lub MA (). Kończy się rozkazem MA jest nieskończona kolejność AR, a dowolny porządek AR jest rzędem nieskończonym rzędu. Przypomnijmy sobie w tygodniu 1, zauważyliśmy, że wymóg stacjonarnego AR (1) polega na tym, że 1 lt1. Pozwala obliczyć Var (xt) używając reprezentacji przyczynowej. W ostatnim kroku używa się podstawowych faktów dotyczących serii geometrycznych, które wymagają (phi1lt1), w przeciwnym razie serie rozbieżności. Nawigacja